\documentclass[11pt]{article}
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%profondeur de la table des matieres.
\setcounter{tocdepth}{1}
%*********************************************************
%*********************commandes****************************
%\input{/home/christine/Tex/commandes.sty}
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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%**********************commandes locales*********************

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\sloppy
\begin{document}
%
\begin{center}{\bf MPA S2 algèbre \\
Responsable: Christine Huyghe \\
Contrôle Continu du 25 mars 2013. Durée : 2h.\\}
\end{center}

   
\vspace{+2cm}

\noindent Il sera accordé le plus grand soin à la qualité de la rédaction. Sont interdits: les
documents, les téléphones portables, les baladeurs, et tout autre objet électronique (calculatrice, ...).

\vspace{+1cm}
Dans tout le texte $K$ sera un corps.
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
\item Cours. Les énoncés sont demandés ici sans démonstration (4pt).
		 \begin{enumerate} \item[1-] Donner la définition d'une famille libre $u_1,\ldots,u_k$ de 
		$k$ vecteurs dans un $K$-espace vectoriel $E$.
		\item[2-] Donner la définition d'un sous-espace vectoriel $F$, d'un espace
vectoriel $E$, sur un corps $K$. 
		\item[3-] Soient $E$ un $K$-espace vectoriel, $\varphi_1$, $\varphi_2$ deux formes
linéaires sur $E$. A quelle
		condition est-ce que $Ker\varphi_1=Ker\varphi_2$ ? Quand deux hyperplans de $E$ sont-ils
		égaux ? 
		\item[4-] Soient $E$, $F$ deux $K$-espaces vectoriels de dimension finie, et $f$ : $E \rightarrow F$
		une application linéaire. Enoncer le théorème du rang.
        \end{enumerate}
%
\item Cours. (4pt).
Soit $f$ : $E \rightarrow F$ une application linéaire entre deux espaces vectoriels sur
$K$. Rappeler la définition de $Kerf$, rappeler la définition du fait qu'une application
est injective. Montrer que $f$ est injective 
 si et seulement si $Kerf=\{0\}$.
%		Soient $F$, $G$, deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$, donner puis
%		démontrer la
%		formule permettant de calculer $dim(F+G)$ en fonction de $dim(F)$ et $dim(G)$. Pour ceci,
%		il sera utile de considérer un supplémentaire $F'$ de $F\bigcap G$ dans $F$, et 
%		$G'$ un supplémentaire de $F\bigcap G$ dans $G$. On admettra sans démonstration
%		que si $H$ et $K$ sont deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$, tels que 
%		$H\bigcap K=\{0\}$, alors $$dim(H \bigoplus K)=dim(H)+dim(K).$$
%
		\item QCM. (4pt). Les réponses ne doivent pas être justifiées. 
				\begin{enumerate} \item[1-] Lesquels des sous-ensembles suivants forment un sous-espace vectoriel de 
						${\Rr}^3$ ? 
						\begin{align*} \textbf{A: }&\{(x,y,z)\,|\, x-y-3z=0\}, \\ 
										\textbf{B: }&\{(x,y,z)\,|\, x-y-3z=8\}, \\
									   \textbf{C: }&\{(x,y,z)\,|\, x-y^2-3z=0\}, \\ 
									   \textbf{D: }&\{(x,y,z)\,|\, x-y-3z=8z\}.  
								\end{align*}
				\item[2-] Laquelle de ces familles forme une base de ${\Cc}^3$ ?
						\begin{align*} \textbf{A: } & \{(1,i,1),(-1,0,1)\}, \\
								\textbf{B: }& \{(1,i,2i),(-1,1,0),(1,1,1+i)\},\\
								\textbf{C: }& \{(1,i,2i),(-1,1,0),(1+i,0,2i)\},\\
								 \textbf{D: }& \{(i,0,0),(1,0,0),(1,i,0),(0,0,1)\}.
						 \end{align*}
				\item[3-] Soit $f$ l'application linéaire : $\Rr^3 \rightarrow \Rr^2$ dont la matrice dans les
				bases canoniques respectives de $\Rr^3$ et de $\Rr^2$ est 
				$$ A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 4 & 4 \\ -5 & 8 \end{array}\right]. 
				$$
				Quelle affirmation parmi celles ci-dessous est exacte ? 
				\begin{enumerate}\item[A:] $dim(Kerf)=2$ et $rg(f)=1$,
								 \item[B:] $f$ n'est pas surjective,
								 \item[C:] $f$ est surjective, mais pas injective,
								 \item[D:] $dim(Kerf)=1$ et $rg(f)=1$.
				\end{enumerate}
				\item[4-] Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $3$, et $(e_1,e_2,e_3)$ une base
						de $E$. Soit $f\in {\cal L}(E)$ tel que 
						\begin{equation*}\left\{
								\begin{aligned}
								f(e_1)&=e_1-3e_2+4e_3 \\
								f(e_2)&=e_2-e_3\\
								f(e_3)&= -5e_1+2e_2-e_3.
								\end{aligned}\right.
						\end{equation*}
						Quelle est, parmi les matrices ci-dessous, celle qui est la matrice de $f$ dans la base 
						$(e_1,e_2,e_3)$ ?
						$$A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ -5 & 2 & -1
						.\end{array}\right],\,
						B=\left[\begin{array}{ccc} -5 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -3  \\ -1 & -1 & 4
						.\end{array}\right],\,
						C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -5 \\ -3 & 1 & 2  \\ 4 & -1 & -1 .\end{array}\right].
						$$
				\end{enumerate}
%
\item Exercice 1 (3pt).
       \begin{enumerate}
        \item[1-] 	Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique $(i,j,k)$ de $\Rr^3$ est~:

	 $$M=\left[
		\begin{array}{ccc}  2 & 2 & -2\\ -2 &-1 & 0\\ 1 & 0 & 1
		\end{array}
		\right]
		.$$

		\begin{enumerate}
		\item[1-]  Déterminer $f(i-3j+5k)$.
		\item[2-]  Déterminer $\mbox{Ker}f$. En donner une base. La matrice $M$ est-elle
         inversible ? Justifier votre réponse.
        \item[3-] Déterminer $\mbox{Im}f$. Donner d'abord sa dimension puis une base. 
        \end{enumerate}
		\end{enumerate}
%
\item Exercice 2 (6pt). Soient $E$ l'espace vectoriel sur $\Rr$ des fonctions de classe ${\cal
C}^{\infty}$ : $[0,2\pi]\rightarrow \Rr$. Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $E$
engendré par les fonctions $e_1=\sin x$, $e_2=\cos x$, $e_3=\sin(2x)$, et $e_4=\cos(2x)$,
$$F=\left\{a \sin x+ b\cos x +c \sin(2x)+ d \cos(2x)\, |\, a,b,c,d \in \Rr\right\}.$$ 
 On pourra admettre les résultat précédents
pour résoudre une question.
		\begin{enumerate}
		\item[1-] Montrer que la famille $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est une base de $F$.
        \item[2-] Pour $f\in F$, on pose $D(f)=f'$, la dérivée de $f$. Montrer que 
          $D$ est une application linéaire : $F \rightarrow F$ et que la matrice de 
		 $D$ dans la base $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est :
           $$A= \left[\begin{array}{cccc} 0 & -1 & 0 & 0 \\
                                          1 & 0 & 0 & 0 \\
                                          0 & 0 & 0 & -2 \\
                                           0 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right].$$
        \item[3-] Déterminer le rang de $A$. En déduire que $D$ est un isomorphisme de
        $F$ et que $KerD=\{0\}$. Est-ce normal ?
        \item[4-] Calculer $A^2$. Montrer que $(A^2+Id)(A^2+4Id)=0$. En déduire une
		expression de l'inverse de $A$ en fonction de $A$. Qu'est-ce que cela signifie quand on
		veut intégrer une fonction du type $a \sin x+ b\cos x +c \sin(2x)+ d \cos(2x)$ ?
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
